문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 젠센 부등식 (문단 편집) == 개요 및 진술 == {{{+1 Jensen inequality}}} [[덴마크]]의 [[수학자]] 요한 옌센(Johan Jensen)[* 참고로 옌센의 본업은 수학이 아니였고, [[엔지니어]]였다.]에 의해 발표된 부등식이다. 덴마크인이므로 [[덴마크어|원어]]를 존중하자면 J를 [[반모음]][* 전문용어로는 [[경구개음#경구개 접근음|경구개]] [[접근음]]이라 하며, 음성기호로 로마자 소문자 j를 그대로 쓴다.]으로 발음하는 '옌센' 부등식이 맞으나 사용빈도가 밀리는 편이고, [[영어]]식으로 J를 [[자음]][* 이쪽은 [[유성음|유성]] [[후치경음#후치경 파찰음|후치경]] [[파찰음]]이며 반모음과 구분되게 음성기호를 ǰ나 d͡ʒ로 쓴다.][* 물론 반모음도 자음에 들어가긴 한다. 정확히는 여기서 J를 자음으로 읽는다는 것은 반모음에 대비되는 [[장애음|진자음]](true consonant)이라는 말이다. 다만 본문에서는 문서의 주제와 먼 수학 외 분야의 복잡한 개념의 사용을 회피하려고 간략히 기술한 것이다.]으로 발음하여 '젠센'[* 사실 [[모음]]까지 제대로 영어식 발음을 한다면 [[강세]] 때문에 '젠슨'이겠지만, 이 부등식 이름의 국문 표기에서만큼은 애매한(?) 영어식이지만 [[경로의존성|고착화]]된 '젠센'보다 훨씬 안 쓰인다. 그래서 본문에서는 가장 흔하거나 가장 근본있는 단지 두 경우만 언급하고 있다.] 부등식이라 부르는 일이 보통 잦다. 수학경시 등 고교 과정의 이산적인 버전 >함수 [math(f:I\to\R)]이 [[볼록함수]]라고 하자. 그러면, 임의의 [math(x_1,x_2,\dots,x_n\in I)]와 [math(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1)]을 만족하는 임의의 음이 아닌 실수 [math(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)]에 대하여 {{{#!wiki style="margin: 10px 0; text-align:center" [math(\lambda_1 f\left(x_1\right)+\lambda_2 f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_n f\left(x_n\right)\geq f\left(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2 +\cdots+\lambda_n x_n\right))][* n=2라면 볼록함수의 정의가 된다.]}}}이다. 만약 [math(f)]가 [[오목함수]]이면, 위 부등식의 부호가 반대이다. 또는 [[확률론]] 등에서 나오는 일반화된 버전 >볼록함수 [math(f)]와 적분가능한 [[확률변수]] [math(X)]에 대해, [math(\mathbb{E}\left[f(X)\right] \ge f\left(\mathbb{E}[X]\right))]가 성립한다.[* [math(f(X))]가 적분가능할 필요는 없다. [math(f(X))]의 [[음수]] 부분이 적분가능하며, 양수 부분의 적분이 발산하는 경우가 이에 해당한다. 저 부등식은 그대로 성립.] 이 있다. [[볼록함수]]에 대해서는 문서 참조.[* 간단히 설명하면, 그래프가 아래로 볼록하게 생긴 함수를 볼록함수라 한다. 즉, 그래프 위의 어느 두 점을 찍더라도 그 점을 이은 선분보다 그래프가 밑에 있다.] 아래의 버전에서 [math(X)]를 [math(P(X=x_i) = \lambda_i)]인 이산[[확률변수]]로 설정하면 위의 버전이 됨을 확인할 수 있다. 한마디로 요약하면 아래로 볼록한 함수에서 ''함숫값의 산술평균값이 산술평균값의 함숫값보다 크거나 같다''는 내용이다. 수학 경시대회의 젠센 부등식은 [[절대부등식]]을 증명하는 데에 있어 반드시 알아놔야 할 아주 '''강력한''' 부등식으로 평가받는다. 특히 수학 경시대회에서 출제된 부등식 문제가 볼록 (오목) 함수에 관한 것이라 추측이 가능하면 대부분 이 젠센 부등식으로 해결이 가능하다. 합이 주어진 상황에서 함수값의 최적화를 생각하는 사실상의 일반적인 방법으로 생각할 수 있다. 물론 젠센 부등식의 진가는 경시대회에 국한되지 않는다. 마치 벡터만 있으면 나오는 [[코시-슈바르츠 부등식]]처럼, 볼록성과 관련된 다방면에 걸친 현상을 설명하는 '''근본적인''' 부등식으로 간주되어 확률론, [[통계학]], 통계 역학, 금융수학, [[기대효용이론]] 등 정말 다양한 분야에서 자연스럽게 등장하곤 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기